حل فعالیت های صفحه 127 ریاضی دهم

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دهم صفحه 127 - فعالیت 1 سلام به همگی! بیایید با هم یاد بگیریم چطور اشیاء مختلف را کنار هم بچینیم. این مفهوم در ریاضیات به **جایگشت** معروف است. **گام اول: نوشتن حالات** ما سه شیء متمایز داریم: $$a$$، $$b$$ و $$c$$. می‌خواهیم تمام ترکیب‌های ممکن برای چیدمان آن‌ها در سه مربع کنار هم را بنویسیم: 1. $$(a, b, c)$$ 2. $$(a, c, b)$$ 3. $$(b, a, c)$$ 4. $$(b, c, a)$$ 5. $$(c, a, b)$$ 6. $$(c, b, a)$$ همان‌طور که مشاهده می‌کنید، در مجموع **۶ حالت** مختلف برای چیدن این سه فیش وجود دارد.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دهم صفحه 127 - فعالیت 2 و 3 حالا بیایید به منطق پشت این شمارش دقت کنیم: **پاسخ سوال ۲:** خیر، در این فعالیت چون ما فقط سه فیش فیزیکی داریم، وقتی یکی را در جایگاه اول می‌گذاریم، دیگر نمی‌توانیم از همان فیش در جایگاه‌های بعدی استفاده کنیم. پس **تکرار مجاز نیست**. **پاسخ سوال ۳ (استفاده از اصل ضرب):** برای پر کردن سه جایگاه، این مراحل را طی می‌کنیم: * **جایگاه اول:** ۳ انتخاب داریم ($$a$$ یا $$b$$ یا $$c$$). * **جایگاه دوم:** چون یک حرف استفاده شده، ۲ انتخاب باقی می‌ماند. * **جایگاه سوم:** چون دو حرف استفاده شده، فقط ۱ انتخاب باقی می‌ماند. طبق **اصل ضرب**: $$3 \times 2 \times 1 = 6$$ بنابراین بدون نوشتن تمام حالات، فهمیدیم که تعداد کل چیدمان‌ها برابر ۶ است.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دهم صفحه 127 - فعالیت جایگشت 4 تایی بیایید این بار با ۴ عدد کار کنیم. این تمرین به ما کمک می‌کند تا فرمول **جایگشت** را درک کنیم. **گام‌های حل به روش اصل ضرب:** 1. **مربع اول:** چون ۴ عدد داریم، **۴** روش برای پر کردن آن وجود دارد. 2. **مربع دوم:** بعد از گذاشتن عدد اول، **۳** عدد باقی می‌ماند، پس برای این جایگاه ۳ انتخاب داریم. 3. **مربع سوم:** حالا **۲** عدد باقی مانده است، پس ۲ انتخاب داریم. 4. **مربع چهارم:** در نهایت فقط **۱** عدد باقی می‌ماند. **محاسبه نهایی:** تعداد کل حالات برابر است با: $$4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$$ **تعریف جایگشت:** هر حالت از چیدن اشیاء متمایز کنار هم را یک **جایگشت** از آن اشیاء می‌گوییم.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دهم صفحه 127 - تمرین 5 و 6 در این بخش می‌خواهیم به یک **قانون کلی** برای تمام مسائل چیدمان برسیم. **پاسخ سوال ۵:** مشابه مثال‌های قبل، برای ۱۰ شیء متمایز، تعداد راه‌های پر کردن جایگاه‌ها از ۱۰ شروع شده و یکی‌یکی کم می‌شود: $$10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$$ این حاصل‌ضرب برابر با **۳,۶۲۸,۸۰۰** است که در ریاضی به آن **!۱۰** (۱۰ فاکتوریل) می‌گوییم. **پاسخ سوال ۶ (فرمول کلی جایگشت):** اگر بخواهیم برای $$n$$ شیء متمایز قانون بنویسیم، حاصل‌ضرب به این صورت خواهد بود: $$n \times (n-1) \times (n-2) \times \dots \times 2 \times 1$$ این فرمول تعداد کل حالت‌های ممکن برای قرار دادن $$n$$ شیء در $$n$$ جایگاه را به ما می‌دهد که آن را با نماد **$$n!$$** نمایش می‌دهیم.